Question

已知橢圓的左右焦點分別為，短軸兩個端點為，且四邊形是邊長為2的正方形。

（1）求橢圓方程；   （2）若分別是橢圓長軸的左右端點，動點滿足，連接，交橢圓于點。證明：為定值；

（3）在（2）的條件下，試問軸上是否存在異于點的定點，使得以為直徑的圓恒過直線的交點，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1），，橢圓方程為。

 （2），設，則。

直線：，即，

代入橢圓得。

，。

，

（3）設存在滿足條件，則。

，，則由

得  ，從而得。

存在滿足條件。