Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，且SD=AD=

2

AB，E是SA的中點．
（1）求證：平面BED⊥平面SAB；
（2）求直線SA與平面BED所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）證明平面BED⊥平面SAB，利用面面垂直的判定定理，證明DE⊥平面SAB即可；
（2）作AF⊥BE，垂足為F，可得∠AEF是直線SA與平面BED所成的角，在Rt△AFE中，即可求得結論．

解答：（1）證明：∵SD⊥平面ABCD，SD?平面SAD
∴平面SAD⊥平面ABCD，
∵AB⊥AD，平面SAD∩平面ABCD=AD
∴AB⊥平面SAD，
∵DE?平面SAD
∴DE⊥AB．…（3分）
∵SD=AD，E是SA的中點，∴DE⊥SA，
∵AB∩SA=A，∴DE⊥平面SAB
∴平面BED⊥平面SAB．…（6分）

（2）解：
作AF⊥BE，垂足為F．
由（1），平面BED⊥平面SAB，則AF⊥平面BED，所以∠AEF是直線SA與平面BED所成的角．…（8分）
設AD=2a，則AB=

2

a，SA=2

2

a，AE=

2

a，△ABE是等腰直角三角形，則AF=a．
在Rt△AFE中，sin∠AEF=

AF

AE

=

2

2

，∴∠AEF=45°
故直線SA與平面BED所成角的大小45°．…（12分）

點評：本題考查面面垂直，考查線面角，解題的關鍵是掌握面面垂直的判定，正確得出線面角，屬于中檔題．