Question

已知函數(shù)f（x）=4^x+a•2^x+3，a∈R．
（1）當(dāng)a=-4時(shí)，且x∈[0，2]，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=0在（0，+∞）上有兩個(gè)不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把a(bǔ)=-4代入函數(shù)解析式，換元后利用配方法求函數(shù)f（x）的值域；
（2）令t=2^x，由x的范圍得到t的范圍，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程t²+at+3=0在（1，+∞）上有兩個(gè)不等實(shí)根，求a的取值范圍．然后結(jié)合該二次方程對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖象與t軸的交點(diǎn)列不等式組求解a的取值范圍．

解答：解：（1）當(dāng)a=-4時(shí)，令t=2^x，
由x∈[0，2]，得t∈[1，4]，y=t²-4t+3=（t-2）²-1
當(dāng)t=2時(shí)，y_min=-1；當(dāng)t=4時(shí)，y_max=3．
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-1，3]；
（2）令t=2^x，由x＞0知t＞1，且函數(shù)t=2^x在（0，+∞）單調(diào)遞增．
∴原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程t²+at+3=0在（1，+∞）上有兩個(gè)不等實(shí)根，求a的取值范圍．
設(shè)g（t）=t²+at+3，則

△＞0 - a 2 ＞1 g(1)＞0

，即

a2-12＞0 a＜-2 a+4＞0

，解得-4＜a＜-2

3

．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-4，-2

3

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查了換元法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用“三個(gè)二次”結(jié)合求參數(shù)的取值范圍，是中檔題．