Question

已知圓M：（x-1）²+（y-1）²=4，直線l：x+y-6=0，A為直線l上一點，若圓M上存在兩點B，C使得：∠BAC=60°，則點A的橫坐標x₀的取值范圍是

[1，5]

．

Answer 1

分析：從直線上的點向圓上的點連線成角，當且僅當兩條線均為切線時才是最大的角，不妨設切線為AP，AQ，則∠PAQ為60°時，∠PMQ為120°，所以MA的長度為4，故可確定點A的橫坐標x₀的取值范圍．

解答：解：由題意，從直線上的點向圓上的點連線成角，當且僅當兩條線均為切線時才是最大的角，不妨設切線為AP，AQ，則∠PAQ為60°時，∠PMQ為120°，所以MA的長度為4，
故問題轉化為在直線上找到一點，使它到點M的距離為4．
設A（x₀，6-x₀），則∵M（1，1），∴（x₀-1）²+（5-x₀）²=16
∴x₀=1或5
∴點A的橫坐標x₀的取值范圍是[1，5]
故答案為：[1，5]

點評：本題考查直線與圓的方程的應用，考查學生分析解決問題的能力，解題的關鍵是明確從直線上的點向圓上的點連線成角，當且僅當兩條線均為切線時才是最大的角．