Question

已知f(x)＝x²＋c，且f［f(x)］＝f(x²＋1)，

(1)設g(x)＝f［f(x)］，求g(x)的解析式；

(2)設φ(x)＝g(x)－λf(x)，試問是否存在實數λ，使φ(x)在(－∞，－1)內是減函數，并在(－1，0)內是增函數．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由f［f(x)］＝f(x2＋1)即(x2＋c)2＋c＝(x2＋1)2＋c 整理得(c－1)(2x2＋c＋1)＝0，∴c＝1 ∴g(x)＝x4＋2x2＋2 (2)φ(x)＝g(x)－λf(x)＝(x4＋2x2＋2)－λ(x2＋1)＝x4＋(2－λ)x2＋2－λ 設y＝φ(x)，x2＝t 則y＝t2＋(2－λ)t＋2－λ在(0，1)上遞減，且在(1，＋∞)上遞增 ∴－＝1，即λ＝4

提示：

本題主要利用了數學中最基本的思想方法：待定系數法和換元法，轉化為二次函數的單調性問題．