Question

已知數列{a_n}的首項，，n=1，2，…．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）證明：對任意的x＞0，，n=1，2，…；
（Ⅲ）證明：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題設條件知，再由，知是以為首項，為公比的等比數列．由此可知．
（Ⅱ）由題意知，==≤a_n，所以對任意的x＞0，，n=1，2，…．
（Ⅲ）由題意知，對任意的x＞0，有=．由此入手能夠求出．
解答：解：（Ⅰ）∵，∴，
∴，
又，
∴是以為首項，為公比的等比數列．
∴，∴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，====≤a_n，
∴原不等式成立．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，對任意的x＞0，有=．
∴取，
則．∴原不等式成立．
點評：本題考查數列的性質和應用，難度較大，解題時要注意挖掘題設中的隱含條件．