Question

已知向量，當x＞0時，定義函數．
（1）求函數y=f（x）的反函數y=f^-1（x）；
（2）數列{a_n}滿足：a₁=a＞0，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，S_n為數列{a_n}的前n項和，則：
①當a=1時，證明：；
②對任意θ∈[0，2π]，當2asinθ-2a+S_n≠0時，
證明：或．

Answer 1

解：由題意得（x＞0）
令x=tanα，則
由于，所以，即函數f（x）的值域為（0，1）
（1）由y²-2xy+x²=y²+y²x²
于是解得，所以原函數的反函數（0＜x＜1）
（2）因為a₁=a＞0，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，所以
①【法一】三角代換 令a_n=tanα_n，因為a_n＞0，且a₁=1所以
所以
由于，所以
故數列{α_n}為等比數列，其首項為，公比為，所以
于是，此處用到不等式x＜tanx
【法二】不等式放縮 因為a_n+1=f（a_n），所以a_n=f^-1（a_n+1）
所以，又由原函數的值域知a_n+1∈（0，1）
所以，則
進而，所以于是
②【法一】，所以=
由S_n＜2a，則易得，又S_n＞0
則要證或
等價于證明
化簡等價于，此式在0＜S_n＜2a的條件下成立；
【法二】因為a_n+1=f（a_n），所以a_n=f^-1（a_n+1）
所以，從而從而S_n＜2a．
則易得，又S_n＞0
則要證或
等價于證明
化簡等價于，此式在0＜S_n＜2a的條件下成立；
分析：（1）由題意得，令x=tanα，則，函數f（x）的值域為（0，1）．由此能求出原函數的反函數．
（2）因為a₁=a＞0，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，所以．
①【法一】三角代換：令a_n=tanα_n，因為a_n＞0，且a₁=1所以，所以，由此能夠證明．
【法二】不等式放縮：因為a_n+1=f（a_n），所以a_n=f^-1（a_n+1），故，又由原函數的值域知a_n+1∈（0，1），所以，則，由此能夠證明．
②【法一】，所以=．由S_n＜2a，能夠證明證明或．
【法二】因為a_n+1=f（a_n），所以a_n=f^-1（a_n+1），所以，從而．由S_n＜2a，能夠證明證明或．
點評：本題考查數列的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，合理地運用三角函數知識，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．