Question

已知過A（0，1），B（1，2）的圓C的圓心在第一象限，且弧AB對的圓周角為．
（1）求圓C的方程．
（2）若D（2，-1），求∠ADB的角平線的方程．
（3）若直線y=x+b，（-2≤b≤-1），求直線掃過圓的面積．

Answer 1

解：（1）由題意可得圓C的圓心在第一象限且在線段AB的中垂線上，且弧AB對的圓心角為 ．
又AB的中點M（，），AB的斜率等于=1，故AB的中垂線方程為y-=-1•（x-），
即x+y-2=0．
故可設C（a，2-a），再由AC⊥BC可得 •=-1，解得a=1，
故圓心C（1，1），半徑等于|CA|==1，
故圓C的方程為（x-1）²+（y-1）²=1．
（2）設∠ADB的角平線的斜率等于k，由于DB的斜率k₁==-3，DA的斜率k₂==-1．
由題意可得DB到∠ADB的角平線的角等于∠ADB的角平分線到DA的角，
故有=，解得 k=（舍去），k=，
∴∠ADB的角平線的方程 y+1=（x-2），即（+1）x+2y-2=0．
（3）當b=-1時，直線直線y=x+b 即x-y-1=0，圓心C到直線的距離等于=，
截圓得到的弦長為 MN=2=，故∠MCN=．
b=-2 時，直線直線y=x-2 即x-y-2=0，圓心C到直線的距離等于 = 大于半徑，
此時直線和圓相離．
直線掃過的面積是一個弓形，其面積等于扇形MCN的面積減去等腰直角三角形MCN的面積，
即 =．

分析：（1）由題意可得圓C的圓心在第一象限且在線段AB的中垂線上，根據線段AB的中垂線方程設出圓心C 的坐標，再根據
AC⊥BC，斜率之積等于-1求出圓心C 的坐標，進而得到半徑，由此求得圓C的方程．
（2）根據DB到∠ADB的角平線的角等于∠ADB的角平分線到DA的角，可得=，解得∠ADB的角平分線 k 的值，用點斜式求出∠ADB的角平線的方程．
（3）當b=-1時，求出截圓得到的弦長為 MN 的值，可得∠MCN=．b=-2 時，直線和圓相離，直線掃過的面積是一個弓形，其面積等于扇形MCN的面積減去等腰直角三角形MCN的面積．
點評：本題主要考查求圓的標準方程的方法，直線和圓相交的性質，點到直線的距離公式，弦長公式的應用，屬于中檔題．