Question

已知平面上的兩個(gè)定點(diǎn)O（0，0），A（0，3），動(dòng)點(diǎn)M滿足|AM|=2|OM|．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅱ）若經(jīng)過(guò)點(diǎn)（

3

，2）的直線l被動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E截得的弦長(zhǎng)為2，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），直接利用條件求點(diǎn)的軌跡方程．
（Ⅱ） 求出圓心E到直線l的距離為d，根據(jù)弦長(zhǎng)利用弦長(zhǎng)公式求得直線l的斜率，從而得到直線l的方程．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），由條件|AM|=2|OM|得：

x2+(y-3)2

=2

x2+y2

，
化簡(jiǎn)整理，得：x²+y²+2y-3=0，即x²+（y+1）²=4．
（Ⅱ）設(shè)圓x²+（y+1）²=4的圓心E到直線l的距離為d，則d=

22-12

=

3

，
若直線l的斜率存在，設(shè)其為k，則l：y-2=k(x-

3

)，即kx-y+2-

3

k=0，
∴

|3- 3 k|

k2+1

=

3

，解得k=

3

3

，從而  l：x-

3

y+

3

=0．
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，其方程為x=

3

，易驗(yàn)證知滿足條件．
綜上，直線l的方程為x=

3

，或x-

3

y+

3

=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直接利用條件求點(diǎn)的軌跡方程的方法，點(diǎn)到直線的距離公式、弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，
注意考慮直線的斜率不存在的情況．