已知數列{an}是等差數列，cn=an2-an+12（n∈N*）
（1）判斷數列{cn}是否是等差數列，并說明理由；
（2）如果a1+a3+…+a25=130，a2+a4+…+a26=143-13k（k為常數），試寫出數列{cn}的通項公式；
（3）在（2）的條件下，若數列{cn}得前n項和為Sn，問是否存在這樣的實數k，使Sn當且僅當n=12時取得最大值．若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由．
解：（1）設{a
n}的公差為d，則c
n+1-c
n=（a
n+12-a
n+22）-（a
n2-a
n+12）=2a
n+12-（a
n+1-d）
2-（a
n+1+d）
2=-2d
2∴數列{c
n}是以-2d
2為公差的等差數列
（2）∵a
1+a
3+…+a
25=130a
2+a
4+…+a
26=143-13k∴兩式相減：13d=13-13k
∴d=1-k
∴
∴a
1=-2+12k
∴a
n=a
1+（n-1）d=（1-k）n+（13k-3）
∴c
n=a
n2-a
n+12=（a
n+a
n+1）（a
n-a
n+1）=26k
2-32+6-（2n+1）（1-k
2）=-2（1-k）
2•n+25k
2-30k+5
（3）因為當且僅當n=12時S
n最大
∴有c
12＞0，c
13＜0
即
分析：（1）設{a
n}的公差為d，則c
n+1-c
n=（a
n+12-a
n+22）-（a
n2-a
n+12）=-2d
2，所以數列{c
n}是以-2d
2為公差的等差數列．
（2）由a
1+a
3+…+a
25=130a
2+a
4+…+a
26=143-13k，知13d=13-13k，d=1-k，由此能導出a
n=a
1+（n-1）d=（1-kn+（13k-3）），由此能求出數列{c
n}的通項公式．
（3）因為當且僅當n=12時S
n最大，所以c
12＞0，c
13＜0，由此能求出k的取值范圍．
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要注意公式的合理運用．
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