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如圖，在△ABC中，
AB
•
AC
=0，|
AB
|=8，|
AC
|=6，L為線段BC的垂直平分線，L與BC交與點D，E為L上異于D的任意一點，
（1）求
AD
•
CB
的值．
（2）判斷
AE
•
CB
的值是否為一個常數，并說明理由．
分析：法一：（1）由題意及圖形，可把向量
AD
用兩個向量
AB
，
AC
的表示出來，再利用數量積的公式求出數量積；
（2）將向量
AE
用
AD
與
DE
表示出來，再由向量的數量積公式求數量積，根據其值的情況確定是否是一個常數；
法二：（1）由題意可以以BC所在直線為X軸，DE所在直線為Y軸建立坐標系，得出各點的坐標，由向量坐標的定義式求出
AD
，
CB
的坐標表示，由向量的數量積公式求數量積；
（2）設E點坐標為（0，y）（y≠0），表示出向量
AE
的坐標再由向量的數量積坐標表示公式求數量積即可
解答：解：法1：（1）由已知可得
AD
=
1
2
(
AB
+
AC
)，
CB
=
AB
-
AC
，
∴
AD
•
CB
=
1
2
(
AB
+
AC
)•(
AB
-
AC
)
=
1
2
(
AB
2-
AC
2)=
1
2
(64-36)=14
（2）
AE
•
CB
的值為一個常數∵L為L為線段BC的垂直平分線，L與BC交與點D，E為L上異于D的任意一點，
∴
DE
•
CB
=0，
故：
AE
•
CB
=(
AD
+
DE
)•
CB
=
AD
•
CB
+
DE
•
CB
=
AD
•
CB
=14
解法2：（1）以D點為原點，BC所在直線為X軸，L所在直線為Y軸建立直角坐標系，可求A（
7
5
，
24
5
），
此時
AD
=(-
7
5
，-
24
5
)，
CB
=(-10，0)，
AD
•
CB
=-
7
5
×(-10)+(-
24
5
)×0=14
（2）設E點坐標為（0，y）（y≠0），
∴
AE
=(-
7
5
，y-
24
5
)，
∴
AE
•
CB
=-
7
5
×(-10)+(y-
24
5
)×0=14（常數）．
點評：本題考查向量在幾何中的應用，本題采用了二種解法，一是基向量法，一是向量的坐標表示，解題的關鍵是建立坐標系與設定其向量
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在△ABC中，已知∠ABC=90°，AB上一點E，以BE為直徑的⊙O恰與AC相切于點D，若AE=2cm，
AD=4cm．
（1）求：⊙O的直徑BE的長；
（2）計算：△ABC的面積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

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3
BD，BC=2BD，則sinC的值為（　　）
A、
3
3
B、
3
6
C、
6
3
D、
6
6

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在△ABC中，設
AB
=a，
AC
=b，AP的中點為Q，BQ的中點為R，CR的中點恰為P．
（Ⅰ）若
AP
=λa+μb，求λ和μ的值；
（Ⅱ）以AB，AC為鄰邊，AP為對角線，作平行四邊形ANPM，求平行四邊形ANPM和三角形ABC的面積之比
S平行四邊形ANPM
S△ABC
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在△ABC中，∠B=45°，D是BC邊上的一點，AD=5，AC=7，DC=3．
（1）求∠ADC的大小；
（2）求AB的長．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在△ABC中，已知
BD
=2
DC
，則
AD
=（　　）

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