Question

已知S_n為正項數列{a_n}的前n項和，且滿足 S_n=

1

2

a

2 n

+

1

2

an(n∈N*)．
（1）求 a₁，a₂，a₃，a₄的值；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）若 bn=n(

1

2

)an，數列{b_n}的前n項和為 T_n，試比較T_n與

21

16

的大小．

Answer 1

分析：（1）在S_n=

1

2

a

2 n

+

1

2

an(n∈N*)中，令 n=1解得a₁，令 n=2解得a₂，令 n=3解得a₃，令 n=4解得a₄，
（2）Sn=

an

2

+

1

2

a

2 n

，Sn-1=

an-1

2

+

1

2

a

2 n-1

兩式相減得出數列{a_n}的遞推關系式，再求解{a_n}的通項公式；
（3）由（2）可得a_n=n，則bn=n(

1

2

)an=

n

2n

，利用錯位相消法求出T_n，再進行大小比較．

解答：解：（1）由Sn=

1

2

a

2 n

+

1

2

an(n∈N*)可得a1=

1

2

a

2 1

+

1

2

a1，解得a₁=1；
S2=a1+a2=

1

2

a

2 2

+

1

2

a2，解得a₂=2；
同理，a₃=3，a₄=4．
（2）Sn=

an

2

+

1

2

a

2 n

 ①，Sn-1=

an-1

2

+

1

2

a

2 n-1

②．①-②即得（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0，由于a_n+a_n-1≠0，
所以a_n-a_n-1=1，又由（1）知a₁=1，故數列{a_n}為首項是1，公差是1的等差數列，故a_n=n．
（3）由（2）知a_n=n，則bn=n(

1

2

)an=

n

2n

，
故Tn=

1

2

+2×(

1

2

)2+…+n(

1

2

)n，①，

1

2

Tn=(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+…+(n-1)(

1

2

)n+n(

1

2

)n+1，②
①-②得：

1

2

Tn=

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-n(

1

2

)n+1=1-

2+n

2n+1

，
故Tn=2-

2+n

2n

∴Tn+1-Tn=

n+1

2n+1

＞0
∴T_n隨n的增大而增大．當n=1時，T1=

1

2

；當n=2時，T₂=1；
當n=3時，T3=

11

8

=

22

16

＞

21

16

，
所以n≥3時，Tn＞

21

16

．
綜上，當n=1，2時，Tn＜

21

16

；當n≥3時，Tn＞

21

16

．

點評：本題考查數列的遞推公式的直接與間接應用，通項公式求解，錯位相消法數列求和，數列的函數性質．屬于中檔題．