Question

已知集合A的全體元素為實數，且滿足若a∈A，則∈A．
（1）若a=2，求出A中的所有元素；
（2）0是否為A中的元素？請再舉例一個實數，求出A中的所有元素；
（3）根據（1）、（2），你能得出什么結論？

Answer 1

解：（1）a=2時，2∈A，則=∈A…（2分）
∈A，則=-∈A；-∈A，則=-3∈A；-3∈A，則=2∈A．
∴A中的元素有，-3，-，2（4分）
（2）0不是A中的元素，若0∈A，則=-1∈A，-1∈A，則無意義．（6分）
假設3∈A，則-∈A，∈A，-2∈A．…（8分）
（3）由（1）、（2）可得到的結論是若實數a∈A（a≠0，a≠±1），則∈A，-∈A，∈A．…（12分）
（未標明a≠0與a≠±1或掉一個扣1分；結論中-或掉一個扣1分）
分析：（1）由已知中若a∈A，則∈A，由a=2∈A，可得∈A，再由∈A，可得2∈A，進而得到A中的所有元素；
（2）根據已知中若a∈A，則∈A，令0∈A，可得-1∈A，根據此時中分母為0，式子無意義，即可得到結論；
（3）根據已知中若a∈A，則∈A，結合（1）的結論可得∈A，-∈A，∈A，而根據（2）的結論，可得要使，-，三式均有意義，應有a≠0，a≠±1．
點評：本題考查的知識點是元素與集合關系的判斷，其中根據已知中若a∈A，則∈A，將已知條件代入進行遞推是解答本題的關鍵，在（3）的解答中易忽略使，-，三式均有意義時，對a的限制，而不能得到滿分．