Question

設A是由m×n個實數組成的m行n列的數表，如果某一行（或某一列）各數之和為負數，則改變該行（或該列）中所有數的符號，稱為一次“操作”．
（Ⅰ） 數表A如表1所示，若經過兩次“操作”，使得到的數表每行的各數之和與每列的各數之和均為非負實數，請寫出每次“操作”后所得的數表（寫出一種方法即可）； 

1	2	3	-7
-2	1		1

表1
（Ⅱ） 數表A如表2所示，若必須經過兩次“操作”，才可使得到的數表每行的各數之和與每列的各數之和均為非負整數，求整數a的所有可能值；

a	a2-1	-a	-a2
2-a	1-a2	a-2	a2

表2
（Ⅲ）對由m×n個實數組成的m行n列的任意一個數表A，能否經過有限次“操作”以后，使得到的數表每行的各數之和與每列的各數之和均為非負整數？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：解：（I）根據題中一次“操作”的含義，將原數表改變第4列，再改變第2行即可；或者改變第2行，改變第4列也可得（寫出一種即可） 
（II）  每一列所有數之和分別為2，0，-2，0，每一行所有數之和分別為-1，1；①如果操作第三列，第一行之和為2a-1，第二行之和為5-2a，列出不等關系解得a，b；②如果操作第一行，可解得a值；
（III） 按要求對某行（或某列）操作一次時，則該行的行和（或該列的列和），由負整數變為正整數，都會引起該行的行和（或該列的列和）增大，從而也就使得數陣中mn個數之和增加，且增加的幅度大于等于1-（-1）=2，但是每次操作都只
是改變數表中某行（或某列）各數的符號，而不改變其絕對值，顯然，數表中mn個數之和必然小于等于，可見其增加的趨勢必在有限次之后終止，終止之時必然所有的行和與所有的列和均為非負整數，故結論成立．
解答：解：（I）
法1：

1	2	3	-7
-2	1		1

改變第4列得：

1	2	3	7
-2	1		-1

改變第2行得：

1	2	3	7
2	-1		1

法2：

1	2	3	-7
-2	1		1

改變第2行得：

1	2	3	7
2	-1		-1

改變第4列得：

1	2	3	7
2	-1		1

法3：

1	2	3	-7
-2	1		1

改變第1列得：

-1	2	3	7
2	1		-1

改變第4列得：

-1	2	3	7
2	1		-1

（寫出一種即可）                                                  …（3分）

（II）   每一列所有數之和分別為2，0，-2，0，每一行所有數之和分別為-1，1；
①如果操作第三列，則

a	a2-1	a	-a2
2-a	1-a2	-a+2	a2

則第一行之和為2a-1，第二行之和為5-2a，
，解得a=1，a=2．…（6分）
②如果操作第一行

-a	-a2+1	a	a2
2-a	1-a2	a-2	a2

則每一列之和分別為2-2a，2-2a²，2a-2，2a²
解得a=1                                     …（9分）
綜上a=1                                             …（10分）
（III） 證明：按要求對某行（或某列）操作一次時，則該行的行和（或該列的列和）
由負整數變為正整數，都會引起該行的行和（或該列的列和）增大，
從而也就使得數陣中mn個數之和增加，且增加的幅度大于等于1-（-1）=2，
但是每次操作都只是改變數表中某行（或某列）各數的符號，而不改變其絕對值，
顯然，數表中mn個數之和必然小于等于，
可見其增加的趨勢必在有限次之后終止，終止之時必然所有的行和與所有的列和均為非負整數，故結論成立 …（13分）
點評：本題主要考查了進行簡單的演繹推理，以及新定義的理解和切變變換的應用，同時考查了分析問題的能力，屬于難題．