Question

在正三棱錐S-ABC中，D是AB的中點，且SD與BC成45°角，則SD與底面ABC所成角的余弦值為

6

3

．

Answer 1

分析：先設出側棱長為l，正三棱錐的底邊長為a，利用異面直線所成角的概念及已知的所成角為45°建立l和a的方程，解出棱長l用a表示，再利用直線與平面所成角的概念可知SD與平面ABC所成的線面角即為∠SDO，然后在三角形SDO中求出此角的余弦值即可．

解答：解：由題意畫出圖形：由于三棱錐S-ABC為正三棱錐，
設側棱為l，底面邊長為a，因為D是AB的中點，且SD與BC成45°角，
如圖取AC的中點E，因為DE∥BC，所以∠SDE=45°，
在直角三角形SDE可以得到l=

3 8

a，
在直角三角形SOD中，OD=

3

6

a，SD=

1 8

a，SO=

1 24

a，
因為SD與平面ABC所成的線面角即為∠SDO，
所以SD與底面ABC所成角的余弦值為cos∠SDO=

OD

SD

=

6

3

故答案為：

6

3

．

點評：本題重點考查了異面直線所成角的概念，考查直線與平面所成的線面角的概念及解題過程中方程的解題思想，屬于中檔題，解題的關鍵就是尋找線面所成角．