Question

已知數列a_n的前n項和為S_n，對任意n∈N*，點（n，S_n）都在函數f（x）=2x²-x的圖象上．
（1）求數列a_n的通項公式；
（2）設bn=

Sn

n+p

，且數列b_n是等差數列，求非零常數p的值；
（3）設cn=

2

anan+1

，T_n是數列c_n的前n項和，求使得Tn＜

m

20

對所有n∈N*都成立的最小正整數m．

Answer 1

分析：（1）對所有n∈N*，S_n=2n²-n，所以a₁=S₁=1，a_n=S_n-S_n-1=4n-3，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）b_n=

2n2-n

n+p

，由{b_n}是等差數列，設b_n=an+b，所以

2n2-n

n+p

=an+b，于是2n²-n=an²+（ap+b）n+bp，由此能求出非零常數p的值．
（3）c_n=

2

(4n-3)(4n+1)

=

1

2

(

1

4n-3

-

1

4n+1

)，所以T_n=c₁+c₂+…+c_n=

1

2

(1-

1

5

+

1

5

-

1

9

+…+

1

4n-3

-

1

4n+1

)
=

1

2

(1-

1

4n+1

)，由T_n＜

m

20

，得m＞(1-

1

4n+1

)，由此能求出最小正整數m的值．

解答：解：（1）由已知，對所有n∈N*，S_n=2n²-n，（1分）
所以當n=1時，a₁=S₁=1，（2分）
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=4n-3，（3分）
因為a₁也滿足上式，所以數列{a_n}的通項公式為
a_n=4n-3（n∈N^*）．（4分）
（2）由已知b_n=

2n2-n

n+p

，（5分）
因為{b_n}是等差數列，可設b_n=an+b（a、b為常數），（6分）
所以

2n2-n

n+p

=an+b，于是2n²-n=an²+（ap+b）n+bp，
所以

a=2 ap+b=-1 bp=0

，（8分）
因為P≠0，所以b=0，p=

1

2

．（10分）
（注：用b_n+1-b_n為定值也可解，或用其它方法解，可按學生解答步驟適當給分）
（3）c_n=

2

(4n-3)(4n+1)

=

1

2

(

1

4n-3

-

1

4n+1

)，（12分）
所以T_n=c₁+c₂+…+c_n
=

1

2

(1-

1

5

+

1

5

-

1

9

+…+

1

4n-3

-

1

4n+1

)
=

1

2

(1-

1

4n+1

)
（14分）
由T_n＜

m

20

，得m＞(1-

1

4n+1

)，
因為1-

1

4n+1

＜1，所以m≥10．
所以，所求的最小正整數m的值為10．（16分）

點評：本題材考查數列的性質和應用，解題時要注意不等式性質的合理運用．