Question

已知曲線C上動點P（x，y）到定點F₁（

3

，0）與定直線l₁：x=

4 3

3

的距離之比為常數

3

2

．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）以曲線c的左頂點T為圓心作圓T：（x+2）²+y²=r²（r＞0），設圓T與曲線C交于點M與點N，求

TM

•

TN

的最小值，并求此時圓T的方程．

Answer 1

分析：（1）利用條件，建立方程，化簡，即可求曲線c的軌跡方程；
（2）用坐標表示出向量的數量積，再用配方法求最值，求出M的坐標，代入圓的方程，即可求得結論．

解答：解：（1）因為曲線C上動點P（x，y）到定點F₁（

3

，0）與定直線l₁：x=

4 3

3

的距離之比為常數

3

2

所以

(x-3)2+y2

|x- 4 3 3 |

=

3

2

，
所以橢圓的標準方程為

x2

4

+y2=1．
（2）點M與點N關于x軸對稱，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），不妨設y₁＞0．
由于點M在橢圓C上，所以y12=1-

x12

4

．
由已知T（-2，0），則

TM

=（x₁+2，y₁），

TN

=（x₁+2，-y₁），
∴

TM

•

TN

=（x₁+2，y₁）•（x₁+2，-y₁）=

5

4

（x₁+

8

5

）²-

1

5

．
由于-2＜x₁＜2，故當x₁=-

8

5

時，

TM

•

TN

取得最小值為-

1

5

．
此時，y₁=

3

5

，故M（-

8

5

，

3

5

），
又點M在圓T上，代入圓的方程得到r2=

13

25

．
故圓T的方程為：(x+2)2+y2=

13

25

．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查向量的數量積公式，考查配方法的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．