Question

某市環(huán)保研究所對市中心每天環(huán)境污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合污染指數(shù)f（x）與時間x（小時）的關(guān)系為，x∈[{0，24}]，其中a與氣象有關(guān)的參數(shù)，且，若用每天f（x）的最大值為當(dāng)天的綜合污染指數(shù)，并記作M（a）．
（1）令，求t的取值范圍；
（2）求函數(shù)M（a）；
（3）市政府規(guī)定，每天的綜合污染指數(shù)不得超過2，試問目前市中心的綜合污染指數(shù)是多少？是否超標(biāo)？

Answer 1

【答案】分析：（1）先對所給函數(shù)式的分子分母同除以x，再利用基本不等式求t的取值范圍即可；
（2）令．下面分類討論：當(dāng)，當(dāng)，分別求出函數(shù)g（x）的最大值即得；
（3）利用（2）得出的函數(shù)分析知，當(dāng)時，M（a）是增函數(shù)；當(dāng)時，M（a）是增函數(shù)，從而求得它的最大值即可解決問題．
解答：解：（1）∵，x=0時，t=0.0＜x≤24時，
，∴．∴．（4分）
（2）令．
當(dāng)，即時，；
當(dāng)，即時，．
所以（10分）
（3）當(dāng)時，M（a）是增函數(shù)，；
當(dāng)時，M（a）是增函數(shù)，．
綜上所述，市中心污染指數(shù)是，沒有超標(biāo)．（15分）
點評：本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及分類討論的思想，屬于實際應(yīng)用題．