Question

已知函數f（x）=ax+lnx
（1）試討論f（x）的極值
（2）設g（x）=x²-2x+2，若對?x₁∈（0，+∞），?x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導數，利用導數不等式先判斷函數的單調性，從而判斷函數的極值．
（2）將f（x₁）＜g（x₂）問題轉化為求函數的最值問題．

解答：解：（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞），f′(x)=a+

1

x

=

ax+1

x

．
當a≥0時f'（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上為增函數，此時函數不存在極值．
當a＜0時，由f'（x）＞0，解得0＜x＜-

1

a

，此時函數遞增．由f'（x）＜0，解得x＞-

1

a

此時函數遞減．此時函數在x=-

1

a

處取得極小值．無極大值．
綜上所述：當a≥0時，函數不存在極值．
當a＜0時，函數在x=-

1

a

處取得極小值．無極大值．
（2）對?x₁∈（0，+∞），?x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），恒成立
由（1）知當a≥0時，f（x₁）在（0，+∞）上為增函數，f（x₁）無最大值；
當a＜0時，f(x1)max?=f(-

1

a

)=-1+ln?(-

1

a

)=-1-ln?(-a)
又g（x₂）=x₂²-2x₂+2在x₂∈[0，1]上單調遞減，所以g（x₂）_max?=g（0）=2．
所以

a＜0 -1-ln(-a)＜2

，解得a＜-e^-3．
所以，實數a的取值范圍是（-∞，-e^-3）．

點評：本題的考點是利用導數求函數的極值以及求函數的最大值最小值．