Question

已知橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1的左焦點為F，過F點的直線l交橢圓于A，B兩點，P為線段AB的中點，當△PFO的面積最大時，求直線l的方程．

Answer 1

分析：由橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1可得c=

a2-b2

，左焦點F的坐標．由題意只考慮直線l的斜率存在且不為0即可．設直線l的方程為my=x+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），與橢圓的方程聯立可得根與系數的關系，再利用中點坐標公式可得y_P，利用S_△PFO=

1

2

|OF|•|yP|和基本不等式即可得出．

解答：解：由橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1可得a²=4，b²=3，∴c=

a2-b2

=1．
∴左焦點F（-1，0）．
由題意只考慮直線l的斜率存在且不為0即可，
設直線l的方程為my=x+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯立

my=x+1 x2 4 + y2 3 =1

化為（4+3m²）y²-6my-9=0，
∴y1+y2=

6m

4+3m2

，
∴yP=

y1+y2

2

=

3m

4+3m2

，
∴S_△PFO=

1

2

|OF|•|yP|=

|3m|

2(4+3m2)

=

3

2( 4 |m| +3|m|)

≤

3

2×2 12

=

3

8

，當且僅當|m|=

2 3

3

時取等號．
此時△PFO的最大值為

3

8

，直線l的方程為±

2 3

3

y=x+1．

點評：本題考查了直線與橢圓相交問題、根與系數的關系、三角形的面積最大值問題、基本不等式等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．