Question

已知P（x₀，y₀）是圓C：x²+（y-4）²=1外一點，過點P作圓C的切線，切點為A、B．記四邊形PACB的面積為f（P），當P（x₀，y₀）在圓D：（x+4）²+（y-1）²=4上運動時，f（P）的取值范圍為

[2

2

，4

3

]

．

Answer 1

分析：根據題意畫出相應的圖形，連接CD并延長，與圓D分別交于M、N，由圓C與圓D的方程得出圓心C、D的坐標，即各自的半徑r與R，利用兩點間的距離公式求出圓心距|CD|的長，當P在N處時，四邊形ACBP面積最��；當P在M處時，四邊形ACBP面積最大，分別求出即可得到f（P）的范圍．

解答：解：由題意得到圓心C（0，4），半徑r=1；圓心D（-4，1），半徑R=2，
∴|CD|=

(-4-0)2+(1-4)2

=5，
∴|CN|=5-2=3，|CM|=5+2=7，
當P位于圖形中的N位置時，四邊形ACBP面積最小，
過P作圓C的切線，切點分別為A、B，連接AC，BC，可得出|AC|=|BC|=1，且CA⊥AP，CB⊥BP，
在Rt△ACP中，根據勾股定理得：AP=

32-12

=2

2

，
此時S_{四邊形ACBP}=2S_△ACP=AP•AC=2

2

；
當P位于圖形中的M位置時，四邊形ACBP面積最大，
同理得到S_{四邊形ACBP}=4

3

，
綜上，f（P）的范圍為[2

2

，4

3

]．
故答案為：[2

2

，4

3

]

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：圓的標準方程，兩點間的距離公式，以及勾股定理，利用了數形結合的思想，數形結合思想是數學中重要的思想方法，做題時注意靈活運用．