Question

設(shè)z₁，z₂是兩個非零復(fù)數(shù)，且|z₁+z₂|=|z₁-z₂|；設(shè)復(fù)數(shù)z=z₁+z₂，在復(fù)平面內(nèi)與復(fù)數(shù)z、z₁、z₂對應(yīng)的向量分別為、、．
（Ⅰ）在復(fù)平面內(nèi)畫出向量、、，并說出以O(shè)、Z₁、Z、Z₂為頂點(diǎn)的四邊形的名稱；
（Ⅱ）求證：是負(fù)實(shí)數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由兩個非零復(fù)數(shù)滿足|z₁+z₂|=|z₁-z₂|，說明以向量為鄰邊的四邊形是矩形，又復(fù)數(shù)z=z₁+z₂，由向量假發(fā)的三角形法則可得復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量；
（Ⅱ）把給出的等式兩邊同時除以復(fù)數(shù)z₂，然后利用其幾何意義得到是純虛數(shù)，則結(jié)果得到證明．
解答：解：（Ⅰ）圖形如圖，

所畫圖形是矩形．
（Ⅱ）證明：由|z₁+z₂|=|z₁-z₂|，∵z₁、z₂不等于零，得，
它表示復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)，到點(diǎn)（-1，0），（1，0）的距離相等，
∴對應(yīng)的點(diǎn)是復(fù)平面虛軸上的點(diǎn)．
∴是純虛數(shù)．
∴是負(fù)實(shí)數(shù)．
點(diǎn)評：本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，解答的關(guān)鍵是對基本概念的理解，是基礎(chǔ)題．