Question

13、已知數集A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}，記和a_i+a_j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的個數為M（A）．如當A={1，2，3，4}時，由1+2=3，1+3=4，1+4=2+3=5，2+4=6，3+4=7，得M（A）=5．若A=1，2，3，…，n，則M（A）=

2n-3

．

Answer 1

分析：∵a₁＜a₂＜…＜a_n，所以a₁+a₂＜a₁+a₃＜…＜a₁+a_n＜a₂+a_n＜…＜a_n-1+a_n．由此能夠推出M（A）=2n-3．

解答：解：不妨設a₁＜a₂＜…＜a_n，
所以a₁+a₂＜a₁+a₃＜＜a₁+a_n＜a₂+a_n＜…＜a_n-1+a_n
所以a_i+a_j（1≤i＜j≤n）中至少有2n-3個不同的數，即M（A）≥2n-3
∵A={1，2，3，，n}，則a_i+a_j∈{3，4，5，，2n-1}共2n-3個
所以M（A）=2n-3
故答案為：2n-3

點評：本題考查集合與元素的位置關系和數列的綜合應用，綜合性較強，解題時注意整體思想和轉化思想的運用，解題時要認真審題，仔細解答，避免錯誤，屬基礎題．