Question

已知△ABC的三個內角∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，且

cosA

cosB

=-

a

b+2c

，則角A的大小為

 

．

Answer 1

分析：根據正弦定理與兩角和的正弦公式，化簡題中的等式得-2sinCcosA=sin（A+B），再利用三角函數的誘導公式算出sin（A+B）=sinC＞0，從而得出cosA=-

1

2

，結合A∈（0，π）可得A的大小．

解答：解：∵

cosA

cosB

=-

a

b+2c

，∴根據正弦定理，得

cosA

cosB

=-

sinA

sinB+2sinC

，
即sinBcosA+2sinCcosA=-cosBcosA，
整理得-2sinCcosA=sinBcosA+cosBcosA=sin（A+B），
∵在△ABC中，sin（A+B）=sin（π-C）=sinC＞0，
∴-2sinCcosA=sinC，約去sinC得cosA=-

1

2

．
又∵A∈（0，π），∴A=

2π

3

．
故答案為：

2π

3

點評：本題給出三角形滿足的邊角關系式，求角A的大小．著重考查了兩角和的正弦公式、特殊角的三角函數值與正余弦定理等知識，屬于中檔題．