Question

設函數f（x）=x³+ax²-12x的導函數為f′（x），若f′（x）的圖象關于y軸對稱．
（I）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數f（x）的極值．

Answer 1

分析：（I）f′（x）=3x²+2ax-12，由于f′（x）的圖象關于y軸對稱，即可得出a=0．進而得到f（x）．
（II）令f′（x）=0，解得x=±2．列表即可得出極值．

解答：解：（I）f′（x）=3x²+2ax-12，∵f′（x）的圖象關于y軸對稱，∴a=0．
∴f（x）=x³-12x．
（II）由（I）可得f′（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2）．
令f′（x）=0，解得x=±2．列表如下：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

由表格可知：當x=-2時，函數f（x）取得極大值，且f（-2）=16；當x=2時，函數f（x）取得極小值，
且f（2）=-16．

點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性、極值、二次函數的對稱性等是解題的關鍵．