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已知函數f(x)ln x.

(1)a時,求f(x)[1,e]上的最大值和最小值;

(2)若函數g(x)f(x)x[1e]上為增函數,求正實數a的取值范圍.

 

(1) 最大值是0,最小值是ln 21 (2)

【解析】(1)a時,f(x)ln x,

f′(x),令f′(x)0,得x2.

x[1,2)時,f′(x)0,故f(x)[1,2)上單調遞減;

x(2,e]時,f′(x)0,故f(x)(2e]上單調遞增.

f(x)在區(qū)間[1e]上有唯一的極小值點,

f(x)minf(x)極小值f(2)ln 21.

f(1)0,f(e)0.

f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值f(x)maxf(1)0.

綜上可知,函數f(x)[1e]上的最大值是0,最小值是ln 21.

(2)g(x)f(x)xln xx

g′(x) (a0)

φ(x)=-ax24ax4,由題意知,只需φ(x)≥0[1,e]上恒成立即可滿足題意.

a0,函數φ(x)的圖象的對稱軸為x2,

只需φ(1)3a4≥0,即a≥即可.

故正實數a的取值范圍為.

 

練習冊系列答案
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(1)m時,求函數f(x)在區(qū)間[1,3]上的極小值;

(2)求證:函數f(x)存在單調遞減區(qū)間[a,b];

(3)是否存在實數m,使曲線Cyf(x)在點P(1,1)處的切線l與曲線C有且只有一個公共點?若存在,求出實數m的值;若不存在,請說明理由.

 

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f(0)f(1)0;f(0)f(1)0f(0)f(3)0

f(0)f(3)0.

其中正確結論的序號是(  )

A①③ B①④

C②③ D②④

 

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(1)該單位每月處理量為多少噸時,才能使每噸的平均處理成本最低?

(2)該單位每月能否獲利?如果獲利,求出最大利潤;如果不獲利,則國家至少需要補貼多少元才能使該單位不虧損?

 

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A2B3

C4D.多于4

 

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