Question

（2012•臺州模擬）如圖，已知長方形ABCD中，AB=2，AD=1，M為DC的中點．將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．

（Ⅰ）求證AD⊥BM；
（Ⅱ）點E是線段DB上的一動點，當二面角E-AM-D大小為

π

3

時，試確定點E的位置．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先證明BM⊥AM，再利用平面ADM⊥平面ABCM，證明BM⊥平面ADM，從而可得AD⊥BM；
（Ⅱ）作出二面角E-AM-D的平面角，利用二面角E-AM-D大小為

π

3

時，即可確定點E的位置．

解答：（Ⅰ）證明：∵長方形ABCD中，AB=2，AD=1，M為DC的中點
∴AM=BM=

2

∴BM⊥AM
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM?平面ABCM
∴BM⊥平面ADM
∵AD?平面ADM
∴AD⊥BM；
（Ⅱ）過點E作MB的平行線交DM于F，

∵BM⊥平面ADM，∴EF⊥平面ADM
在平面ADM中，過點F作AM的垂線，垂足為H，則∠EHF為二面角E-AM-D平面角，即∠EHF=

π

3

設FM=x，則DF=1-x，FH=

2

2

x
在直角△FHM中，由∠EFH=

π

2

，∠EHF=

π

3

，可得EF=

3

FH=

6

2

x
∵EF∥MB，MB=

2

，∴

EF

MB

=

DF

DM

，∴

6 2 x

2

=

1-x

1

∴x=4-2

3

∴當E位于線段DB間，且

DE

DB

=2

3

-3時，二面角E-AM-D大小為

π

3

．

點評：本題考查線面垂直，考查面面角，正確運用面面垂直的性質，掌握線面垂直的判定方法，正確作出面面角是關鍵．