Question

已知函數f（x）滿足2f（x+2）=f（x），當，當x∈（-4，-2）時，f（x）的最大值為-4．
（1）求x∈（0，2）時函數f（x）的解析式；
（2）是否存在實數b使得不等式對于x∈（0，1）∪（1，2）時恒成立，若存在，求出實數 b的取值集合，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知得：f（x）=2f（x+2）=4f（x+4），設x∈（-4，-2）時，則x+4∈（0，2），代入，求出f（x+4）=ln（x+4）+a（x+4），再根據當x∈（-4，-2）時，f（x）的最大值為-4，利用導數求得它的最大值，解方程即可求得a的值，進而求得結論；
（2）假設存在實數b使得不等式對于x∈（0，1）∪（1，2）時恒成立，由（1）可得：x∈（0，1）∪（1，2）時，不等式恒成立，利用分離參數的方法，轉化為求函數的最值問題，即可求得b的值．
解答：解：（1）由已知得：f（x）=2f（x+2）=4f（x+4），
，設x∈（-4，-2）時，則x+4∈（0，2），
所以f（x+4）=ln（x+4）+a（x+4）
∴x∈（-4，-2）時，f（x）=4f（x+4）=4ln（x+4）+4a（x+4）
∴，∵，∴，
∴當，
當，
∴，∴a=-1
∴當x∈（0，2）時，f（x）=lnx-x
（2）由（1）可得：x∈（0，1）∪（1，2）時，不等式恒成立，
即為恒成立，
①當x∈（0，1）時，，令
則
令，則當x∈（0，1）時，
∴h（x）＞h（1）=0，∴，
∴g（x）＜g（1）=1，故此時只需b≥1即可；
②當x∈（1，2）時，，令
則
令，則當x∈（1，2）時，
∴h（x）＞h（1）=0，∴，
∴φ（x）＜φ（1）=1，故此時只需b≤1即可，
綜上所述：b=1，因此滿足題中b的取值集合為：{1}
點評：此題是個難題．考查函數解析式的求法以及函數恒成立問題，體現了轉化和分類討論的思想方法，其中問題（2）是一個開放性問題，考查了同學們觀察、推理以及創造性地分析問題、解決問題的能力．