Question

己知函數f（x）是定義域為R的奇函數，且f（-5）=-1，f（x）的導函數y=f′（x）的圖象如圖所示．若正數a滿足f（2a+1）＜1，則-

1

a

的取值范圍是（　　）

• A．（-2，0）
• B．（-∞，-

  1

  2

  ）
• C．（-

  1

  2

  ，+∞）
• D．（-

  1

  2

  ，0）

Answer 1

分析：由函數的導函數的圖象判斷出導函數的符號，從而得到原函數的單調性，再由f（-5）=-1，得f（5）=1，
代入f（2a+1）＜1后由單調性得到不等式2a+1＜5，求出a的范圍后可求答案．

解答：解：由f（x）的導函數y=f′（x）的圖象可知，
當x∈（-∞，+∞）時，f′（x）≥0恒成立，
所以函數f（x）在（-∞，+∞）上為增函數，
因為函數f（x）是定義域為R的奇函數，
由f（-5）=-1，得f（5）=1．
則由f（2a+1）＜1，得f（2a+1）＜f（5），
所以2a+1＜5，解得a＜2．
又a＞0，所以

1

a

＞

1

2

．
則-

1

a

＜-

1

2

．
故選B．

點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數的正負之間的關系，考查了函數的奇偶性，練習了不等式的解法，是中檔題．