Question

已知函數f(x)=loga(ax2-x+

1

2

)在[

1

2

，2]上恒為正，則實數a的取值范圍

（

1

2

，

5

8

）∪（4，+∞）

．

Answer 1

分析：討論a與1的大小，將函數f（x）=log_a（ax²-x+

1

2

）（a＞0且a≠1）在[

1

2

，2]上恒正轉化成：當0＜a＜1時，0＜ax²-x+

1

2

＜1在[

1

2

，2]上恒成立，當a＞1時，ax²-x+

1

2

＞1在[

1

2

，2]上恒成立，然后利用分離法可求出a的取值范圍．

解答：解：當0＜a＜1時，
若函數f（x）=log_a（ax²-x+

1

2

）（a＞0且a≠1）在[

1

2

，2]上恒正
即0＜ax²-x+

1

2

＜1在[

1

2

，2]上恒成立，
∴

1

x

-

1

2x2

＜a＜

1

x

+

1

2x2

而

1

x

-

1

2x2

在[

1

2

，2]上的最大值為

1

2

，

1

x

+

1

2x2

在[

1

2

，2]上的最小值為

5

8

∴此時

1

2

＜a＜

5

8

當a＞1時，函數f（x）=log_a（ax²-x+

1

2

）（a＞0且a≠1）在[

1

2

，2]上恒正
則ax²-x+

1

2

＞1在[

1

2

，2]上恒成立，
即a＞

1

x

+

1

2x2

在[

1

2

，2]上恒成立
而

1

x

+

1

2x2

在[

1

2

，2]上的最大值為4
∴此時a＞4
故答案為：（

1

2

，

5

8

）∪（4，+∞）

點評：本題主要考查了函數恒成立問題，同時考查了分類討論、轉化的思想和運算求解的能力，屬于中檔題．