Question

已知|

a

|=1，|

b

|=

2

，

a

與

b

的夾角為θ．
（1）若

a

∥

b

，求

a

•

b

；
（2）若

a

-

b

與

a

垂直，求θ．

Answer 1

分析：（1）平行向量的夾角為0或π，由此進行討論，并結合向量數量積公式即可算出

a

•

b

的值；
（2）垂直的兩個向量的數量積為0，由此列式并結合題中模的數據可得1-

2

cosθ=0，解之得cosθ=

2

2

．最后根據向量夾角范圍，結合特殊角的余弦值可得角θ的大小．

解答：解：（1）∵

a

∥

b

，∴a與b的夾角θ=0或π，
∴當θ=0時，

a

•

b

=|

a

|•|

b

|cosθ=1×

2

×cos0=

2

；
當θ=π時，

a

•

b

=|

a

|•|

b

|cosθ=1×

2

×cosπ=-

2

綜上所述，得

a

•

b

=±

2

（2）∵（

a

-

b

）⊥

a

，
∴（

a

-

b

）•

a

=0，即

a

²-

a

•

b

=0，
∵

a

²=|

a

|²=1，

a

•

b

=|

a

|•|

b

|cosθ=1×

2

cosθ=

2

cosθ
∴1-

2

cosθ=0，解之得cosθ=

2

2

．
∵向量

a

、

b

的夾角θ的范圍是[0，π]，
∴θ=

π

4

．

點評：本題給出向量

a

、

b

的模，在已知

a

-

b

與

a

垂直的情況下求它們的夾角θ的大小．著重考查了平面向量數量積運算公式、向量模的性質和向量的夾角求法等知識，屬于基礎題．