Question

如圖，過點（0，a³）（0＜a＜2）的兩直線與拋物線y=-ax²相切于A，B兩點，AD，BC垂直于直線y=-8，垂足分別為D、C，求矩形ABCD面積的最大值．

Answer 1

解：設切點為（x₀，y₀），則y₀=-ax₀²．
因為y'=-2ax，所以切線方程為y-y₀=-2ax₀（x-x₀），即y+ax₀²=-2ax₀（x-x₀），---（2分）
因為切線過點（0，a³），所以a³+ax₀²=-2ax₀（0-x₀），即a³=ax₀²，于是x₀=±a．-----（2分）
將代入 y₀=-ax₀² 得，y₀=-a³．-----（2分）
（若設切線方程為y=kx+a³，代入拋物線方程后由△=0得到切點坐標，亦予認可．）
所以AB=2a，BC=8-a³，所以矩形面積為S=16a-2a⁴（0＜a＜2）．----（3分）
于是S'=16-8a³．所以當時，S'＞0；當時，S'＜0；
故當時，S有最大值為．----（3分）
分析：設切點為（x₀，y₀），則y₀=-ax₀²，把點（0，a³）代入切線方程求得x₀=±a，y₀=-a³，可得AB=2a，BC=8-a³，所以矩形面積為S=16a-2a⁴（0＜a＜2 ），由S'=16-8a³，可得當時，S有最大值為．
點評：本題主要考查拋物線的標準方程，以及簡單性質的應用，函數在某一點的導數的幾何意義，利用導數判斷函數的單調性，利用單調性求函數的最值．