Question

如圖，在四棱錐P―ABCD中，底面ABCD為正方形，△PAB為等邊三角形，O為AB中點，且PO⊥AC.

   （1）求：平面PAB⊥平面ABCD；

   （2）求PC與平面ABCD所成角的大小；

   （3）求二面角P―AC―B的大小.

Answer 1

解法一：

（1）證明：∵△PAB為等邊三角形，O為AB中點，

∴PO⊥AB.

又PO⊥AC，且ABAC=A，

∴PO⊥平面ABCD，

又PO平面PAB，

∴平面PAB⊥平面ABCD.

（2）解：∵PO⊥平面ABCD，

連結(jié)OC，則OC是PC在平面ABCD上的射影，

∴∠PCO為直線PC與平面ABCD所成的角.

設底面正方形邊長為2，

則PO=，CO=

∴

∴PC與平面ABCD所成的角大小為

（3）解：過O做OE⊥AC，垂足為E，連結(jié)PE.

∵PO⊥平面ABCD，

則三垂線定理，可知PE⊥AC，

∴∠PEO為二面角P―AC―B的平面角                                                         

設底面正方形邊長為2，可求得OE=

又PO=

∴

∴二面角P―AC―B的大小為

解法二：

（1）證明：同解法一

（2）解：建立如圖的空間直角坐標系O-xyz，設底面正方形邊長為2，

則P（0，0，），C（1，2，0）

又是平面ABCD的一個法向量，且

設PC與更平面ABCD所成的角為

則

∴PC與平面ABCD所成角大小為

（3）解：設為平面PAC的一個法向量，則

由

可得，

令z=1，得

得

又是平面ABC的一個法向量，

設二面角P―AC―B的大小為，

則