Question

已知向量

m

=（1，1），向量

n

與向量

m

的夾角為

3π

4

，且

m

•

n

=-1．
（1）求向量

n

；
（2）設向量

a

=（1，0），向量

b

=(cosx，sinx)，其中x∈R，若

n

•

a

=0，試求|

n

+

b

|的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）直接設出向量

n

的坐標（x，y），由條件向量

n

與向量

m

的夾角為

3π

4

，且

m

•

n

=-1得到關于x和y的方程組，解方程組即可．
（2）由

n

•

a

=0確定出向量

n

，將|

n

+

b

|表示為x的三角函數，由三角函數知識求范圍即可．

解答：解：（1）設

n

=（x，y），則

x+y=-1 2 x2+y2 cos 3π 4 =-1

，解得

x=-1 y=0

或

x=0 y=-1

所以

n

=（-1，0）或（0，-1）
（2）因為向量

a

=（1，0），

n

•

a

=0，所以

n

=（0，-1）

n

+

b

=（cosx，sinx-1）
所以|

n

+

b

|=

cos2x+(sinx-1)2

=

2(1-sinx)

因為-1≤sinx≤1，所以0≤|

n

+

b

|≤2

點評：本題考查向量的數量積、模、及夾角運，屬基礎知識、基本運算的考查．