Question

【題目】已知，，直線，，與曲線所圍成的曲邊梯形的面積為.其中，且.

（1）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的值；

（2）請(qǐng)指出，，的大小，并且證明；

（3）求證：.

Answer 1

【答案】（1）1；（2），證明見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性，研究的范圍，即得解.

（2）借助第（1）問(wèn)的結(jié)論進(jìn)行放縮，即得證；

（3）借助第（1）問(wèn)的結(jié)論進(jìn)行放縮和疊加，即得證；

（1）由已知得時(shí)，不合題意，所以.

恒成立，即恒成立.

令，.

當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，此時(shí)成立.

當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，不合題意，所以.

令，，當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，此時(shí)，恒成立.

當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，不合題意，所以.

綜上得.

（2）由（1）知.令，得，

從而，

又因?yàn)?/span>，則.

（3）由已知

，

因?yàn)?/span>，所以

，

.

從而.