Question

數列{a_n}是等差數列，數列{b_n}是等比數列，已知a₁=b₁=1，點（a_n，a_n+1）在直線y=x+1上，b_n滿足a_n=log₂b_n+1
（1）求通項公式a_n、b_n；
（2）若T_n=a_n•b_n，求A_n=T₁+T₂+…+T_n的值．

Answer 1

分析：（1）由點在直線上，可得a_n+1與a_n的關系，從而得{a_n}的通項公式a_n；由a_n=log₂b_n+1，可得b_n的通項公式；
（2）由T_n=a_n•b_n，得T_n的公式，從而得A_n，結合A_n的特征，用錯位相減法可求得A_n．

解答：解：（1）∵點（a_n，a_n+1）在直線y=x+1上，∴a_n+1=a_n+1，即a_n+1-a_n=1；
又a₁=1，∴數列{a_n}是首項為1，公差為1的等差數列，
∴a_n=1+（n-1）×1=n；
又a_n=log₂b_n+1，∴log₂b_n=a_n-1，∴b_n=2an-1=2^n-1；
（2）有T_n=a_n•b_n，得T_n=n•2^n-1，
∴A_n=T₁+T₂+…+T_n-1+T_n=1×2⁰+2×2¹+…+（n-1）•2^n-2+n•2^n-1；
∴2A_n=2T₁+2T₂+…+2T_n-1+2T_n=1×2¹+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
∴A_n-2A_n=1×2⁰+2¹+…+2^n-1-n•2ⁿ，
∴-A_n=

1×(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ，
∴A_n=n•2ⁿ-1+2ⁿ=（n+1）2ⁿ-1．

點評：本題考查了等差數列與等比數列的定義、通項公式以及前n項和公式的綜合應用，是中檔題目．