Question

設A，B為圓x²+y²=1上兩點，O為坐標原點（A，O，B不共線）
（1）求證：

OA

+

OB

與

OA

-

OB

垂直．
（2）當∠xOA=

π

4

，∠xOB=θ，θ∈(-

π

4

，

π

4

)且

OA

•

OB

=

3

5

時，求sinθ的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中A，B為圓x²+y²=1上兩點，O為坐標原點（A，O，B不共線），可得|

OA

|=|

OB

|=1，進而證得

OA

+

OB

與

OA

-

OB

的數量積為0，得到兩個向量垂直．
（2）由∠xOA=

π

4

，∠xOB=θ，θ∈(-

π

4

，

π

4

)，可得A，B坐標，進而根據

OA

•

OB

=

3

5

，結合同角三角函數的基本關系和兩角差的正弦公式，得到答案．

解答：（1）證明：∵A，B為圓x²+y²=1上兩點，O為坐標原點
∴|

OA

|=|

OB

|=1，
又∵（

OA

+

OB

）•（

OA

-

OB

）
=

OA

2-

OB

2
=|

OA

|2-|

OB

|2
=1-1=0
∴

OA

+

OB

⊥

OA

-

OB

…（4分）
（2）解：∵∠xOA=

π

4

，∠xOB=θ，θ∈(-

π

4

，

π

4

)
∴A(cos

π

4

，sin

π

4

)，B(cosθ，sinθ)
∴

OA

•

OB

=cos

π

4

cosθ+sin

π

4

sinθ=sin(

π

4

+θ)=

3

5

…（8分）
∵θ∈(-

π

4

，

π

4

)
∴θ+

π

4

∈(0，

π

2

)
∴cos(θ+

π

4

)=

4

5

…（10分）
sinθ=sin(θ+

π

4

-

π

4

)=sin(θ+

π

4

)cos

π

4

-cos(θ+

π

4

)sin

π

4

=-

2

10

點評：本題考查的知識點是用向量的數量積判斷兩個向量的垂直關系，平面向量的數量積運算，是向量與三角函數的綜合應用，難度為中檔．