Question

（2013•蘭州一模）已知函數f（x）是R上的偶函數，且滿足f（5+x）=f（5-x），在[0，5]上有且只有f（1）=0，則f（x）在[-2013，2013]上的零點個數為（　　）

A．808

B．806

C．805

D．804

Answer 1

分析：分析：確定函數關于直線x=5對稱且以10為周期，利用函數在[0，5]上只有f（1）=0，可得在[0，10]上有兩個零點，結合偶函數的對稱性及周期，由此可得結論．

解答：解：∵f（5+x）=f（5-x），
∴函數關于直線x=5對稱，f（10+x）=f（-x），
∵函數f（x）是（-∞，+∞）上的偶函數，f（-x）=f（x）
∴f（10+x）=f（x），即函數以10為周期
∵在[0，5]上只有f（1）=0，∴在[0，10]上有兩個零點
∵2012=201×10+2
∴f（x）在[0，2012]上的零點的個數為403
∵函數f（x）是（-∞，+∞）上的偶函數，
∴f（x）在[-2012，2012]上的零點的個數為806
故選B

點評：本題考查函數的零點，考查函數的性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．