Question

已知函數y=f(x)滿足a=(x²,y),b=(x,-1),且a·b=-1.如果存在正項數列{a_n}滿足:a₁=,f(a₁)+f(a₂)+f(a₃)+…+f(a_n)-n=a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³-n²a_n(n∈N^*).

(1)求數列{a_n}的通項;

(2)求證:數列{a_n}的前n項和≤S_n＜1.

Answer 1

答案：(1)解:∵a·b=-1,∴y=f(x)=x³-x+1(x≠0).

∵f(a₁)+f(a₂)+f(a₃)+…+f(a_n)-n=a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³-n²a_n(n∈N^*),

∴代入得a₁+a₂+a₃+…+a_n=n²a_n.①

又a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=(n-1)²a_n-1,②

①-②得=.則a_n=···…·=(n∈N^*).

(2)證明:∵a_n=,

∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=(1)+()+()+…+()=1.

∵n≥1時,y=1是關于n的單調增函數,∴1≥.而1＜1顯然成立,

∴原式成立.