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如圖所示,在邊長為12的正方形ADD1A1中,點B,C在線段AD上,且AB=3,BC=4,作BB1∥AA1,分別交A1D1,AD1于點B1,P,作CC1∥AA1,分別交A1D1,AD1于點C1,Q,將該正方形沿BB1,CC1折疊,使得DD1與AA1重合,構(gòu)成如圖所示的三棱柱ABC-A1B1C1

(1)求證:AB⊥平面BCC1B1

(2)求四棱錐A-BCQP的體積;

(3)求平面PQA與平面BCA所成角的余弦值.

答案:
解析:

  (1)在正方形中,因為

  所以三棱柱的底面三角形的邊

  因為

  所以,所以

  因為四邊形為正方形,

  所以,而

  所以平面. 4分

  (2)因為平面,所以為四棱錐的高.

  因為四邊形為直角梯形,且

  所以梯形的面積為

  所以四棱錐的體積. 8分

  (3)由(1)(2)可知,兩兩互相垂直.以為原點,建立如圖所示的空間直角坐標系

  則

  所以

  設(shè)平面的一個法向量為

  則,即

  令,則.所以

  顯然平面的一個法向量為

  設(shè)平面與平面所成銳二面角為

  則

  所以平面與平面所成角的余弦值為. 12分


練習冊系列答案
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A、   B、   C、   D、

 

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