Question

已知數(shù)列

2

1×3

，

2

3×5

，

2

5×7

，…，

2

(2n-1)(2n+1)

，…的前n項(xiàng)和為S_n．
（Ⅰ）計(jì)算S₁，S₂，S₃，S₄；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）所得到的計(jì)算結(jié)果，猜想S_n的表達(dá)式，不必證明．

Answer 1

（I）∵數(shù)列

2

1×3

，

2

3×5

，

2

5×7

，…，

2

(2n-1)(2n+1)

，…的前n項(xiàng)和為S_n．
∴S₁=

2

1×3

=

2

3

，
S₂=

2

1×3

+

2

3×5

=

4

5

，
S₃=

2

1×3

+

2

3×5

+

2

5×7

=

6

7

，
S₄=

2

1×3

+

2

3×5

+

2

5×7

+

2

7×9

=

8

9

，
（II）由（I）中
S₁=

2

3

=

2×1

2×1+1

，
S₂=

4

5

=

2×2

2×2+1

，
S₃=

6

7

=

2×3

2×3+1

，
S₄=

8

9

=

2×4

2×4+1

，
…
由此猜想S_n=

2n

2n+1