Question

【題目】已知橢圓C： （）的離心率為 ，，，，的面積為1.

（1）求橢圓C的方程；

（2）斜率為2的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，求直線的方程；

（3）在軸上是否存在一點(diǎn)，使得過(guò)點(diǎn)的任一直線與橢圓若有兩個(gè)交點(diǎn)、則都有為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及相應(yīng)的定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】

（1）利用離心率和三角形的面積列方程，由此解得的值，進(jìn)而求得橢圓的方程.（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，根據(jù)，斜率乘積為建立方程，解方程求得直線的方程.（3）設(shè)出過(guò)點(diǎn)的直線方程，聯(lián)立直線方程和橢圓的方程，消去，化簡(jiǎn)后寫出韋達(dá)定理，代入計(jì)算，根據(jù)為定值，求得點(diǎn)的坐標(biāo)以及相應(yīng)的定值.

（1）由已知，，又，解得，

∴橢圓的方程為。

（2）設(shè)直線的方程為，則由可得，

即

∵∴

∴直線的方程為即。

（3）設(shè)、、，當(dāng)直線不為軸時(shí)的方程為，

聯(lián)立橢圓方程得：

∴當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)（定值）

即在軸上存在點(diǎn)使得為定值5

點(diǎn)E的坐標(biāo)為或。經(jīng)檢驗(yàn)，

當(dāng)直線為軸時(shí)上面求出的點(diǎn)也符合題意。