Question

設(shè)數(shù)列{b_n}{P_n}滿足b₁=3，b_n=3ⁿP_n，且P_n+1=P_n+（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）若存在實數(shù)t，使得數(shù)列C_n=（b_n-）•+n成等差數(shù)列，記數(shù)列{C_n•（）^C_n}的前n項和為Tn，證明：3ⁿ•（T_n-1）＜b_n；
（3）設(shè)A_n=T_n，數(shù)列{A_n}的前n項和為S_n，求證S_n＜．

Answer 1

解：（1）由已知得，
∴P_n=P₁+（P₂-P₁）+（P₃-P₂）+…+（P_n-P_n-1）=，
∴
上述兩式錯位相減得：
∴
（2）∵，
∴當(dāng)且僅當(dāng)t=0時，數(shù)列C_n成等差數(shù)列，此時C_n=n（n∈N⁺）
∴
∴
錯位相減得：
∵
∴3ⁿ（T_n-1）＜b_n
（3）=
由可得
S_n=A₁+A₂+A₃+…+A_n
==
分析：（1）由P_n+1=P_n+（n∈N^*），利用疊加法得P_n=P₁+（P₂-P₁）+（P₃-P₂）+…+（P_n-P_n-1）=，從而有，上述兩式錯位相減，可得，從而求得數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）由題意得，，再使用錯位相減法求得，從而可以證明；
（3）將A_n=T_n，化簡，再進(jìn)行分組可得，進(jìn)而分別求和，利用放縮法可以證得．
點評：本題主要考查疊加法求數(shù)列的通項，考查錯位相減求數(shù)列的和，數(shù)列與不等式的綜合，有一定難度．