Question

已知a＞0,函數f(x)=ax-bx²,

(1)當b＞0時，若對任意x∈R都有f(x)≤1,證明a≤2b;

(2)當b＞1時，證明對任意x∈［0,1］,|f(x)|≤1的充要條件是b-1≤a≤2.

Answer 1

分析：對任意x∈R都有f(x)≤1,即f(x)的最大值不大于1，從而轉化為求f(x)的最值.對任意x∈［0,1］,要證|f(x)|≤1的充要條件是b-1≤a≤2,只需證x∈［0,1］，函數f(x)的值域是［-1,1］的子集時，a、b滿足的關系是b-1≤a≤2和當b-1≤a≤2時，|f(x)|≤1.

證明：(1)∵b＞0,

f(x)=-b(x-)²+≤,

    由題意得≤1，∴a²≤4b,即a≤2.

(2)對任意x∈［0,1］,b＞1,a＞0,

    必要性：

    由|f(x)|≤1得-1≤f(x)≤1,

    又f(x)=-b(x-)²+,

∴∴

∴b-1≤a≤2.

    充分性：

    當a≤2時，≤1,即f(x)≤1;

    當a≥b-1時，ax-x²≥b(x-x²)-x≥-x≥-1，即f(x)≥-1.

∴b-1≤a≤2時，|f(x)|≤1.

    綜上，當b＞1時，對任意x∈［0,1］,|f(x)|≤1的充要條件是b-1≤a≤2.