Question

已知一列橢圓．n=1，2…．若橢圓C_n上有一點P_n，使P_n到右準線l_n的距離d_n是{p_nF_n}與{P_nG_n}的等差中項，其中F_n、G_n分別是C_n的左、右焦點．
（I）試證：（n≥1）；
（II）取，并用S_n表示△P_nF_nG_n的面積，試證：S₁＜S₂且S_n＞S_n+1（n≥3）．

Answer 1

證明：（I）由題設及橢圓的幾何性質有2d_n={P_nF_n}+{P_nG_n}=2，故d_n=1．
設，則右準線方程為．
因此，由題意d_n應滿足．
即，解之得：．
即．從而對任意．

（II）設點P的坐標為（x_n，y_n），則由d_n=1及橢圓方程易知
=．因{F_nG_n}=2G_n，
故△P_nF_nG_n的面積為S_n=G_n{y₄}，
從而．
令f（c）=-2c³+c²+2c-1．由f′（c）=-6c²+2c+2=0．
得兩根．從而易知函數f（c）在內是增函數．
而在內是減函數．
現在由題設取，
則是增數列．
又易知．
故由前已證，知S₁＜S₂，且S_n＞S_n+1（n≥3）
分析：（I）由題設及橢圓的幾何性質有2d_n={P_nF_n}+{P_nG_n}=2，故d_n=4．設，則右準線方程為．由題設條件能推出．即．從而證出對任意
（II）設點P的坐標為（x_n，y_n），由題設條件能夠推出{F_nG_n}=2G_n，△P_nF_nG_n的面積為S_n=G_n{y₄}，由此入手能夠證出S₁＜S₂，且S_n＞S_n+1（n≥3）．
點評：本題綜合考查橢圓、數列和不等式的知識，難度較大，解題時要綜合考慮，恰當地選取公式．