Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，，點是橢圓的一個頂點，是等腰直角三角形.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點分別作直線，交橢圓于，兩點，設兩直線的斜率分別為，，且，證明：直線過定點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）由橢圓的頂點坐標可直接得，根據△是等腰直角三角形可得，進而由橢圓方程中的關系即可得橢圓方程；

（2）分類討論直線的斜率不存在和直線斜率存在兩種情況：當斜率存在時，設出直線方程，并聯立橢圓后，設，，由韋達定理表示出，根據斜率關系，整理可得與的等量關系，代入直線方程即可確定直線AB過定點.當斜率不存在時，易證也過該定點即可.

（1）由已知可得，

是等腰直角三角形可得，

由，

則所求橢圓方程為.

（2）若直線的斜率存在，設方程為，依題意.

設，，

由得.

則.

由已知，

所以，即.

所以，整理得.

故直線的方程為，即.

所以直線過定點.

若直線的斜率不存在，設方程為，

設，，由已知，

得.此時方程為，顯然過點.

綜上，直線過定點.