Question

已知函數f（x）=x²+x-1，α，β是方程f（x）=0的兩個根（α＞β），f′（x）是f（x）的導數，設a₁=1，（n=1，2，…）．
（1）求α，β的值；
（2）證明：對任意的正整數n，都有a_n＞α；
（3）記（n=1，2，…），求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）=x²+x-1，α，β是方程f（x）=0的兩個根（α＞β）可求得；
（2）由f'（x）=2x+1，=，由基本不等式可知，依此有
（3），，數列{b_n}是等比數列，由其前n項和公式求解．
解答：解：（1）∵f（x）=x²+x-1，α，β是方程f（x）=0的兩個根（α＞β），
∴；
（2）f'（x）=2x+1，
=，
∵a₁=1，
∴有基本不等式可知（當且僅當時取等號），
∴，同樣，（n=1，2），

（3）
而α+β=-1，即α+1=-β，，
同理，
又
點評：本題主要考查函數與數列的綜合運用，還考查了數列的遞推與前n項和公式．