Question

已知數列{a_n}的前n項和Sn=12n-n2
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式，并證明{a_n}是等差數列；
（Ⅱ）若c_n=12-a_n，求數列{

1

cn•cn+1

}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，可求得a_n=13-2n，利用等差數列的定義，易證當n∈N^*時，a_n+1-a_n=-2為定值，從而證得結論；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知c_n=2n-1，利用裂項法得

1

cn•cn+1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），從而可求數列{

1

cn•cn+1

}的前n項和．

解答：解（ I）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=12n-n²-[12（n-1）-（n-1）²]=13-2n，
當n=1時，a₁=S₁=12-1=11適合上式，
∴a_n=13-2n，
∴當n∈N^*時，a_n+1-a_n=13-2（n+1）-（13-2n）=-2為定值，
∴數列{a_n}是等差數列；
（ II）∵c_n=12-a_n=12-（13-2n）=2n-1，n∈N^*，
∴

1

cn•cn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴S_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

．

點評：本題考查數列的求和，著重考查等差關系的確定與裂項法求和，屬于中檔題．