Question

已知a>0，n為正整數．（1）設y=(x-a)ⁿ，證明y¢=(x-a)^n-1；

（2）設f_n(x)=xⁿ-(x-a)ⁿ，對任意n³a，證明f¢_n+1(n+1)>(n+1)f¢_n(n)．

 

Answer 1

答案：
解析：

證明：（1）因為(x-a)n=， 所以y¢=． （2）對函數fn(x)=xn-(x-a)n求導數：fn¢(x)=nxn-1-n(x-a)n-1，所以fn¢(n)=n[nn-1-(n-a) n-1]． 當x³a>0時，fn¢(x)>0．∴ 當x³a時，fn(x)=xn-(x-a)n是關于x的增函數． 因此，當x³a時，(n+1)n-(n+1-a)n>nn-(n-a)∴ fn+1¢(n+1)=(n+1)[(n+1)n-(n+1-a)n]>(n+1)[nn-n(n-a)n]>(n+1)[nn-n(n-a)n-1]=(n+1)fn¢(n)．即對任意n³a，fn+1¢(n+1)>(n+1)fn¢(n)．