Question

已知函數f(x)=ln(ax+1)+

1-x

1+x

，x≥0，其中a＞0．
（Ⅰ）若f（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調區間；
（Ⅲ）若f（x）的最小值為1，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）對函數求導，令f′（1）=0，即可解出a值．
（Ⅱ）f′（x）＞0，對a的取值范圍進行討論，分類解出單調區間．a≥2時，在區間（0，+∞）上是增函數，
（Ⅲ）由（2）的結論根據單調性確定出最小值，當a≥2時，由（II）知，f（x）的最小值為f（0）=1，恒成立；當0＜a＜2時，判斷知最小值小于1，此時a無解．當0＜a＜2時，（x）的單調減區間為(0，

2-a a

)，單調增區間為(

2-a a ，+∞

)

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

a

ax+1

-

2

(1+x)2

=

ax2+a-2

(ax+1)(1+x)2

，
∵f′（x）在x=1處取得極值，f′（1）=0
  即 a+a-2=0，解得  a=1
（Ⅱ）f′(x)=

ax2+a-2

(ax+1)(1+x)2

，
∵x≥0，a＞0，
∴ax+1＞0
①當a≥2時，在區間（0，+∞）上f′（x）＞0．
∴f（x）的單調增區間為（0，+∞）
②當0＜a＜2時，由f′（x）＞0解得x＞

2-a a

由f′(x)＜0解得x＜

2-a a

∴f（x）的單調減區間為(0，

2-a a

)，單調增區間為(

2-a a

，+∞)
（Ⅲ）當a≥2時，由（II）知，f（x）的最小值為f（0）=1
當0＜a＜2時，由（II）②知，f(x)在x=

2-a a

處取得最小值f(

2-a a

)＜f(0)=1，
綜上可知，若f（x）的最小值為1，則a的取值范圍是[2，+∞）

點評：考查導數法求單調區間與求最值，本類題型是導數的主要運用．